Идеализации

Построение математической модели какого-либо объекта, явления неизбежно требует принятия некоторых упрощений, идеализаций. Чем больше идеализаций, тем проще модель, тем удобней с ней работать и тем уже спектр явлений, который она способна описать. С другой стороны, идя по пути усложнения модели, надо иметь в виду, что даже максимально сложная, «все учитывающая» модель все равно остается всего лишь моделью и не способна полностью описать явление, зато способна перенести львиную долю внимания исследователя с самого явления на абстрактный математический аппарат, его описывающий.

Поэтому в математическом моделировании существует золотая середина степени усложнения. В математической экологии эффективны простые модели с большим количеством идеализаций. Рассмотрим идеализации для модели роста изолированной популяции, т.е. такой популяции, взаимодействия в которой возможны только между представителями данной популяции: [25]

• Постоянство внешних условий, т.к. прежде чем исследовать роль внешних воздействий следует проанализировать свойства идеальной, изолированной популяции, на динамику численности которой влияют лишь биотические факторы, причем только те из них, которые связаны с внутривидовой деятельностью. В уравнения роста не должно в таком случае явным образом входить время, т.е. они должны быть автономными.

• Целочисленное число особей популяции заменяется для удобства на непрерывную, действительную величину.

• Рассматриваемая популяция считается однородной, т.е. пренебрегается ее половой, возрастной, генотипической и какой-либо другой структурированностью.

• Рост численности любой популяции есть, строго говоря, случайный процесс, который должен описываться на языке теории вероятностей. Но при исследовании изменения численности популяций с большим числом членов естественно описывать эти изменения на языке средних величин.

• В случае не перекрывающихся поколений, в дискретных моделях, принимается синхронное размножение у всех организмов при достижении определенного возраста. Что хотя и не соответствует действительности, позволяет упростить математический аппарат, причем без отрицательного влияния на результат. Момент появления новой особи, в непрерывных моделях, считается равномерно распределенным на отрезке времени, равном среднему времени жизни особи.

• В случае перекрывающихся поколений, скорость изменения численности может определяться численностью не в текущий, а в некоторый предшествующий момент времени. Динамика изменения численности описывается в этом случае уравнениями с запаздывающим аргументом. Такое запаздывание, в случае если оно сравнимо или превосходит характерное время системы, может приводить к колебаниям численности и даже к резонансам: колебаниям с нарастающей амплитудой. Пренебрежение таким запаздыванием — еще одна часто принимаемая идеализация.

• Исследуемая система предполагается либо локальной, т.е. имеющей достаточно малые размеры (для таких систем понятия численности популяции и ее плотности являются синонимами), либо постулируется полное перемешивание, когда особь за время жизни успевает побывать на всей территории обитания популяции. Для человеческого общества предполагается его информационная связность на всем протяжении роста. При исследовании локальных или сосредоточенных сообществ изучается исключительно временна́я динамика. На самом деле сосредоточенных сообществ не существует, а реальная протяженность ареала обитания популяции может в сотни и тысячи раз превышать величину перемещения особи за поколение. Модели пространственно-распределенных сообществ включают анализ как временно́й, так и пространственной организации этих сообществ. Они описываются уравнениями типа диффузия-кинетика, решение которых зачастую сопряжено с непреодолимыми математическими трудностями.

• Рост численности изолированной популяции предполагается свободным, никем и никак не управляемым ростом, происходящим в естественных природных условиях.

Условно все идеализированные модели биологических систем можно разделить на три типа: регрессионные, качественные и имитационные: [24]
 

• Регрессионные зависимости — это формулы, описывающие связь различных характеристик системы, которые при этом не претендуют на физический или биологический смысл этих зависимостей. Для построения регрессионной модели достаточно статистически достоверных наблюденных корреляций между переменными или параметрами системы.
   
•  Качественные (базовые) модели. В любой науке существуют простые модели, которые поддаются аналитическому исследованию и обладают свойствами, которые позволяют описывать целый спектр природных явлений. Их задача качественно описать систему в данном случае растущую изолированную популяцию. Базовые модели обычно представляют собой системы дифференциальных или разностных уравнений относительно малой размерности, допускающие аналитическое и компьютерное качественное исследование. Такие модели позволяют ответить на вопросы: возможны ли в системе колебания, переключения режимов функционирования, пространственно неоднородные решения, квазистохастическое поведение. При этом важно понимать, что истинные причины наблюдаемого поведения популяции, особенности роста ее численности могут никак этой моделью не отражаться.

• Имитационные модели. По меткому выражению Р. Шеннона имитационное моделирование — это нечто промежуточное между искусством и наукой. Суть его заключается в исследовании сложной математической модели с помощью вычислительных экспериментов и обработки результатов этих экспериментов. Как правило, создатели такой имитационной модели пытаются максимально использовать всю имеющуюся информацию об объекте моделирования как количественную, так и качественную. При этом модель может получиться разной у различных авторов, поскольку точные формальные правила ее построения отсутствуют.
   

Целью нашего исследования является построение качественной (базовой) обобщенной модели роста численности изолированной популяции с учетом всех обозначенных выше идеализаций.