Миф о том, что только закон квадратичного роста
может обеспечить гиперболический рост
Чем же все-таки не устраивают модели первого типа, подумает придирчивый читатель? Что с того, что они редукционистские, если правильно описывают рост и к тому же наиболее просты по форме. Однако соответствие теории демографическим данным, не бог весть какое достоинство, ведь закон роста чрезвычайно прост, и «слепить» вменяемую модель на основе (1) не представляет особого труда. Но действительно ли закон квадратичного роста (1) является необходимым и достаточным условием роста численности по гиперболе?
Очень важным, на наш взгляд, является понимание того обстоятельства, что гиперболический рост численности населения мира мог происходить также и при другой, отличной от задаваемой законом (1) зависимости скорости роста от времени. Иначе говоря, в пространстве множества функций, выражающих зависимость скорости роста численности от времени, существует класс функций, «сколь угодно далеких» от квадратичной гиперболы скорости роста, задаваемой (1), но определяющих кривую роста численности, совпадающую с гиперболой Форстера с той же точностью, с какой гипербола Форстера соответствует демографическим данным.
Здесь мы имеем дело с еще одним мифом теоретической демографии, поскольку ни один из исследователей гиперболического роста такой возможности не учитывает и считает гиперболическую зависимость скорости роста от времени, для растущей популяции Homo sapiens, само собой разумеющейся.
Исключением является работа С. Тимофеева и Д. Помазкина Демографические модели, в которой показано, что, если отказаться от параболической зависимости скорости роста от численности (1) и заменить ее на кусочно-линейную, то можно получить непрерывную пилообразную кривую, состоящую из кусочков экспонент, служащую хорошим приближением для гиперболы Форстера.
Но о чем говорит исследование Форстера, которое он проводил методом наименьших квадратов? О том, что в классе степенных функций простая гипербола лучше всего подходит для описания зависимости N(t). Критерием соответствия теории и «эксперимента» в методе наименьших квадратов служит точность определения трех констант степенной функции: ее показателя, постоянной Форстера и точки сингулярности.
Высокая точность, полученная Форстером для показателя степенной функции и точки сингулярности, говорит о том, что в среднем за некоторое характерное время τ скорость роста численности возрастала по закону квадратичной гиперболы. Причем рост рассматривается Форстером на интервале времени в 20 столетий, т.е. гораздо большим этого характерного времени: ΔТ >> τ. Критерий же соответствия теории и «эксперимента» в методе наименьших квадратов учитывает поведение эмпирической функции лишь в том смысле, что подбираются три константы, наилучшим образом определяющие аппроксимирующую степенную зависимость.
Если же рассматривать другие классы функций, учитывая, что зависимость численности от времени может быть получена интегрированием скорости по времени, а операция интегрирования есть, по сути, операция сглаживающая, нивелирующая, уничтожающая все особенности — то результат может оказаться совершенно иным. Иначе говоря, действительная зависимость скорости роста от времени может значительно отличаться от квадратичной гиперболы.
Здесь мы попытаемся показать, что зависимость эта может выражаться функцией даже не монотонной, причем ее возрастание будет сменяться убыванием десятки раз в течение исторического периода, но кривая роста N(t) при этом будет «сколь угодно мало» отличаться от гиперболы Форстера. Возьмем для определенности промежуток длительностью в две тысячи лет: от начала новой эры и до второй половины ХХ века. Разобьем его на интервалы равной длительности и введем сеточную функцию. Считаем, что сетка равномерная: шаг сетки постоянный, т.е. расстояния между любыми двумя соседними узлами — равны. В узловых точках заданная функция принимает те же значения, что и эмпирическая гипербола Форстера.
Если выбрать шаг разбиения достаточно малым, то результат интерполяции такой сеточной функцией может «сколь угодно мало» отличаться от гиперболы Форстера. Выберем для простоты линейную интерполяцию, а величину шага положим равной 25-ти годам. Для той кусочно-линейной функции, которая будет получена нами в качестве альтернативы гиперболе Форстера, важным будет интервал длительностью в два шага, т.е. в 50 лет. Внутри этого интервала, с длительностью равной характерному времени исторических изменений, процесс смоделированного роста будет качественно меняться. (Рост скорости роста будет сменяться ее убыванием.) Что возможно и в реальности, т.е. не противоречит историческим и демографическим данным.
В результате такой интерполяции получим кусочно-линейную функцию, аппроксимирующую гиперболу демографического роста. Причем отличие ее от гиперболы, т.е. отклонение линейного сплайна от гиперболы, будет гораздо меньшим, чем разброс демографических данных. Поэтому такая «кривая» может служить полноценной заменой гиперболе Форстера. Иначе говоря, демографические данные соответствуют этому закону роста, полученному с помощью кусочно-линейной интерполяции, в той же степени, что и гипербола Форстера. Отсутствие непрерывности у скорости роста для дальнейшего не существенно. Конечно, все сказанное не является доказательством и позволяет лишь создать наглядный образ процесса построения необходимой зависимости. Однако доказать существование такой кривой роста или «сколь угодно мало» отличающейся от нее — не представляет особого труда.
И, наконец, сконструируем еще одну кривую следующим образом: возьмем иголку и прошьем нашу кусочно-линейную функцию по узлам — стежок за стежком. В результате получим то, что изображено на рис. 7. Всего будет 80 стежков. Т.к. кривизна такой «стежковой» кривой при трех последовательных проколах меняет свой знак (возможно, неоднократно), то скорость роста численности оказывается немонотонной функцией. Действительно, в точках перегиба вторая производная N(t) меняет свой знак, а первая производная, соответственно, достигает максимума или минимума, т.е. рост (спад) скорости роста сменяется ее спадом (ростом).
Теперь «потянем» за нитку, которой прошили гиперболу. Дуги стежков можно «сколь угодно близко» подтянуть к отрезкам линейного сплайна, натягивая нитку. Следовательно, такая «стежковая» кривая может быть непрерывной со всеми своими производными и при этом «сколь угодно мало» отличаться от кусочно-линейной функции, т.е., имея немонотонно растущую производную, соответствовать демографическим данным в той же степени, что и гипербола Форстера.
Рис. 7. Немонотонная зависимость скорости роста от времени при монотонном «гиперболическом» росте численности.
Итак, мы получили закон роста численности населения мира, отвечающий демографическим данным в той же мере, что и эмпирическая гипербола демографического роста, но при этом скорость роста этой численности за время от начала летоисчисления до второй половины ХХ века циклически, десятки раз меняет характер своей монотонности. И закон (1) пропорциональности скорости роста квадрату численности в этом случае, очевидно, уже не выполняется. Отсюда с необходимостью вытекает, что все модели первого типа, основанные на (1) как на причинном законе, объяснить такой смоделированный рост не в состоянии.
Здесь может быть такое возражение. Внутри интервала длительностью 50 лет скорость роста меняет характер своей монотонности, но при этом рост скорости роста превышает ее спад. А на интервалах, длительность которых значительно превышает 50 лет, средняя скорость роста растет по квадратичному закону. Следовательно, можно считать, что закон (1) в среднем все-таки выполняется.
Конечно, и для такой сконструированной нами модели, среднюю скорость можно определять с помощью (1), и эта средняя скорость роста, растет по закону (1).
Что значит средняя скорость роста? В данном случае это значит, что если мы вычислим скорость роста, используя формулу (1) для какого-то момента времени в прошлом, то найдем лишь ее математическое ожидание. При этом речь не идет о том, что (1) позволяет находить скорость роста с точностью до «ошибок измерения». «Стежковая функция» — это некий нестационарный, случайный, циклический процесс, а вовсе не «шум» измерения. И как всякий случайный процесс для каждого момента времени характеризуется математическим ожиданием, дисперсией другими характеристиками.
Но можно ли вводить в таком случае мгновенную скорость роста численности, и составлять какие-то дифференциальные уравнения, ведь при конечно-разностном приближении производной нужно брать интервалы с длительностью, гораздо большей 50-ти лет. Т.е. длительность эта должна составлять как минимум сотни лет, тогда как гипербола Форстера получена для исторического периода продолжительностью всего в 20 столетий. Конечно, можно учесть циклическую динамику скорости роста внутри интервала длительностью 50 лет, связав ее, например, гипотетически с причинами, порождающими Кондратьевский цикл, но при этом с законом (1) — все равно придется распрощаться.
Но что по настоящему важно, так это то, что для смоделированного здесь роста перестает работать та причинно-следственная связь, которая служила объяснением явлению гиперболического роста во всех моделях первого типа. Т.е. рост численности может приводить и к спаду скорости роста, что делает не способной, например, изобретательскую теорию Коротаева с ее формулой, больше людей — больше изобретателей — больше скорость роста — больше людей, объяснить смоделированный здесь рост. Не работает в этом случае также и принцип демографического императива Капицы, согласно которому рост и развитие в эпоху гиперболического роста причинно определялись (т.е. растущая численность — причина роста и развития), прежде всего, растущей численностью населения мира.
Приведенная здесь модель роста численности, с немонотонной, циклически меняющейся скоростью роста, всего лишь пример, показывающий, что зависимость скорости роста от численности населения Земли могла быть иной, отличной от той, что определяется законом (1).
Численность населения мира на протяжении тысячелетий (если исключить войны и эпидемии) всегда только росла. Но циклически могла меняться скорость ее роста и производные от нее. В ХХ веке монотонность скорости роста нарушалась неоднократно, что связано с двумя мировыми войнами, однако к началу перехода рост вернулся на ту же самую гиперболу, которой следовал многие тысячи лет. Возможно, существует связь устойчивости роста с его не монотонностью.
Возможно, и в отсутствии катастроф динамика изменения скорости роста численности населения Земли во все времена носила циклический характер, что и обеспечивало устойчивый рост. Возможно, даже «назначение» экономических циклов, и, в частности, Кондратьевского цикла как раз и заключается в том, чтобы обеспечивать такую устойчивость. Но это лишь предположение.