Миф о том, что закон гиперболического роста
можно определить через закон квадратичного роста
Закон квадратичного роста (1) Коротаев считает тем причинным, абстрактным законом, который полностью объясняет гиперболический рост. И даже претендует в определенном смысле на роль его первооткрывателя! Считая этот вывод окончательным и не подлежащим сомнению, он использует этот же закон и для определения закона гиперболического роста численности населения Земли, которое необходимо для его изобретательской теории.
В чем же заключается открытие Форстера, и что такое закон гиперболического роста численности населения Земли? Можно ли давать определение закона (2) используя (1)? Коротаев дает такое определение:
«Закон гиперболического роста численности населения Земли состоит в том, что скорость роста численности населения Земли в тенденции пропорциональна квадрату этой численности».
Здесь «в тенденции» означает по мере роста Мир-системы, т.е. с повышением ее системности и, следовательно, адекватности, по мнению Коротаева, его изобретательской теории. Кроме того, характеристика «в тенденции» ассоциируется со случайностью и приближенностью. Это как раз то, что нужно Коротаеву, чтобы читатель поверил в сказку про изобретателей, в которую без подмены закона на тренд поверить невозможно. Вот еще один пример схожего определения:
«Закон гиперболического роста численности населения Земли состоит в том, что скорость роста численности населения Земли примерно пропорциональна квадрату этой численности».
Оба определения ошибочны, и мы здесь это докажем. Отметим пока, что в обоих случаях закон (1) считается причинным законом, хотя нигде это никак не оговаривается. Сразу же дадим правильное определение закону, который открыл Форстер. На наш взгляд, здесь не может быть вариантов:
Определение 3
Закон гиперболического роста численности населения Земли как объективно существующая причинная связь, объясняющая гиперболический рост и выражающаяся в форме абстрактного причинного закона, не открыт и до настоящего времени. По крайней мере, не существует общепринятой теории гиперболического роста. Все существующие теории различаются тем, что в качестве причины роста предлагают какую-то свою единственную причину, отвергая все прочие.
Поэтому, когда говорят о законе роста численности населения Земли, то имеется в виду эмпирическая зависимость (эмпирический закон), открытая Форстером, достоверность которой не вызывает сомнения, т.к. подтверждена всеми последующими исследованиями. И которая заключается в том, что численность населения Земли в течение многих тысячелетий росла в соответствии с эмпирической гиперболой демографического роста.
Рис. 8. Закон гиперболического роста численности населения Земли, гипербола Форстера.
Гипербола Форстера — первая из семейства кривых гиперболического роста, различающихся значениями постоянной Форстера и точкой сингулярности. Показатель степенной функции принимается равным минус единице. Из закона Форстера (2) формулу (1) можно вывести простым дифференцированием, откуда следует, что скорость роста численности на всем протяжении роста в среднем была пропорциональна квадрату этой численности. Но из факта такой пропорциональности в среднем вовсе не следует, что закон (2) можно определить через закон (1).
Действительно, закон квадратичного роста можно использовать в качестве определения закона гиперболического роста лишь в том случае, если будет доказана следующая «теорема»:
Закон квадратичного роста, есть необходимое и достаточное условие роста численности населения Земли по закону Форстера (2).
Необходимость доказывается просто; предположим, что дифференциальное уравнение (1) действительно описывает рост численности населения мира. Проинтегрируем его и получим гиперболическое решение (2). А вот достаточность, как мы это сейчас покажем, доказать невозможно. Допустим, что рост численности был гиперболическим. Как в таком случае скорость роста зависела от времени и от численности? Если бы кривая роста была «идеальной гиперболой» или хотя бы «сколь угодно близкой» к непрерывной (со всеми своими производными) гиперболической функции, то продифференцировав ее мы бы получили закон квадратичного роста и доказали достаточность нашей «теоремы».
Но действительная кривая роста, гипербола Форстера (2), была получена методом наименьших квадратов в результате обработки большого количества демографических данных. Этот метод не позволяет получить зависимость скорости роста от времени с точностью, необходимой для доказательства достаточности нашей теоремы. Следовательно, закон квадратичного роста, согласно которому скорость роста численности всегда, а не только в среднем за характерное время, росла по закону квадратичной гиперболы, мог и не выполняться. Зависимость скорости роста от времени могла быть даже не монотонной функцией, и ее рост мог сменяться спадом десятки раз на протяжении всего исторического периода.
Существующие демографические данные и гипербола Форстера отвечают такому сценарию немонотонного изменения скорости роста с той же точностью, что и закону ее монотонного возрастания по закону (1). Подробности – здесь. Т.е. закон (1) может и не быть тем причинным динамическим законом, в результате непрерывного действия которого, в течение многих сотен лет образовалась гипербола (2). Иначе говоря, причина гиперболического роста может быть никак не связана с законом (1), и его нельзя использовать для определения закона (2), как полагает Коротаев.
Как же в действительности зависела скорость роста от времени в течение всей эпохи гиперболического роста? Все, чем мы фактически располагаем, приступая к исследованию этого вопроса — это данные по численности населения мира, причем точность их не слишком высока (даже в ХХ веке она составляет несколько процентов). Известно, что все они в совокупности хорошо отвечают гиперболической зависимости (2). Можно ли в таком случае закон квадратичного роста считать тем динамическим законом, который обеспечивал гиперболический рост численности?
Закон (1) эмпирическим законом не является. Существует единственный эмпирический закон — гипербола Форстера. О том как в действительности росла скорость роста с той точностью, которая необходима для того, чтобы отдать предпочтение какой-нибудь одной из моделей роста, мы, вероятно, так никогда и не узнаем. Но если повернуться лицом к фактам, следует признать, что никакими данными по скорости роста численности населения мира мы не располагаем; все что нам известно с достаточно высокой степенью надежности, так это данные по ежегодной переписи населения в XX и (в ряде стран) в XIX веке.
По мере же удаления в прошлое точность демографических данных падает, и одновременно растет значимость случайных отклонений в динамике относительного прироста численности. И если находить скорость роста методами численного дифференцирования, точность полученных результатов будет падать темпами, значительно превышающими темпы падения точности численности. Т.е. аналитические методы также бессильны решить эту проблему.
Но насколько все это важно? В среднем скорость роста, конечно, была пропорциональна квадрату численности. Но есть и нюансы. Интересно было бы, например, узнать ее динамику после каких-то катастроф: природных катаклизмов, войн, эпидемий. Соответствовала ли она в такие времена закону (1) или была несколько выше? Если была выше, то рост был круче гиперболического. Знай мы как в действительности менялась скорость роста, возможно, сумели бы уловить черты более сложной модели второго или третьего типа.
Итак, закон квадратичного роста (1) эмпирической зависимостью не является и, кроме того, его нельзя также считать надежно установленным динамическим причинным законом. Гиперболический рост численности населения мира мог происходить и при другом, отличном от (1) причинном законе с немонотонной зависимостью скорости роста от времени. Не ясно даже, является ли (1) вообще причинным законом (нелинейной положительной обратной связью); возможно, мы имеем дело не с причинно-следственной, а всего лишь с функциональной, сопутствующей связью между численностью населения мира и скоростью ее роста. Иначе говоря, здесь мы находимся в положении неопределенности, когда вопрос о статусе закона (1) не решен, поскольку не существует общепринятой теории роста. Именно поэтому он и не может быть взят за основу при определении закона гиперболического роста численности населения Земли.
Кроме того, закон (1) не может служить определением закону гиперболического роста численности населения Земли еще и потому, что при этом изначально исключаются из рассмотрения теории, объясняющие гиперболический рост на основе моделей второго и третьего типа. Модели второго типа исключаются, т.к. их математический аппарат должен включать механизм устойчивости роста, который отсутствует при таком определении закона роста. (Закон (1) будет задавать лишь русло, направление роста ведущей переменной.) Модели третьего типа также должны быть исключены, т.к. строятся на законе с постдетерминацией. Следовательно, такое определение закона гиперболического роста сужает множество объяснительных теорий, оставляя только модели первого типа.
В любом случае использовать закон квадратичного роста (1) для определения закона гиперболического роста численности населения Земли (2), очевидно, нельзя. Так что Определение 1 — это очередной миф Коротаева. Доказывая пропорциональность абсолютной скорости роста численности квадрату этой численности в тенденции, он полагает, что тем самым полностью объясняет явление гиперболического роста населения Земли. Но такое объяснение — всего лишь нагромождение нелепых ошибок.