Миф о том, что закон квадратичного роста –
есть асимптотическая форма более сложного закона,
полностью объясняющего рост

Проведем такой мысленный эксперимент. Пусть имеются два сосуда с питательной смесью, в каждом находятся микроорганизмы, способные двигаться и размножаться по закону Мальтуса (для растущей популяции при неограниченных ресурсах без конкуренции), в соответствии с которым прирост пропорционален численности. (Такой рост называется экспоненциальным.) Сосуды соединены трубкой с краном.

Что произойдет, если спустя некоторое время после того как микроорганизмы начали размножаться, кран открыть? Ничего не произойдет. Каждая часть системы размножается независимо от другой. Скорость роста в системе «два сосуда вместе» ничем не отличается от суммарной скорости роста в системе «два сосуда по отдельности» до открытия крана. Микроорганизмы «не чувствуют друг друга», никак не взаимодействуют, для роста им нужна только питательная среда. Все сказанное справедливо для любого экспоненциального роста, с любыми коэффициентами рождаемости и смертности.

Но если повторить тот же эксперимент для организмов, размножающихся по закону квадратичного роста, то после открытия крана, спустя некоторое время, темпы роста скорости роста удвоятся, т.е. естественный прирост, в расчете на одну репродуктивную ячейку популяции в системе из двух сосудов, будет вдвое превышать таковой при закрытом кране. Длительность переходного периода, когда скорость роста получает свое приращение (в данном случае на 100 %), назовем минимально необходимым временем проявления системности.

Рис. 10. Переход от конечно-разностного алгоритма Эйлера к законам роста в дифференциальной форме для экспоненциального и гиперболического роста.

Причинно-следственный механизм экспоненциального и гиперболического роста полностью соответствует одношаговому алгоритму Эйлера в задаче Коши для уравнений (1) и (2). Следует подчеркнуть, что конечно-разностная форма закона роста (1А) при достаточно малом шаге Δt и есть та модель, которая адекватно описывает процесс роста как причинно-следственную цепь. Дифференциальное уравнение (1) с бесконечно малым шагом и приращением — всего лишь математическая идеализация, позволяющая получать простые по форме и достаточно точные решения стандартным методом.

Именно поэтому вопрос о выборе шага итераций Δt в (1А) имеет большое значение. Каким должен быть выбран этот шаг, и может ли он вообще быть выбран, чтобы конечно-разностный алгоритм роста соответствовал существующим причинно-следственным отношениям. И шаг этот должен быть достаточно мал, чтобы оказался возможен переход к уравнению (1), частным решением которого является гипербола Форстера. Иначе не будет согласия между теорией и «экспериментом».

Для колонии организмов, растущих по закону экспоненты, шаг этот должен быть гораздо меньше масштаба времени (1/α), характеризующего рост. Если показатель смертности равен нулю, то это время, необходимое микроорганизму чтобы создать свою копию. Других ограничений на Δt — нет (считаем, что объем питательной смеси не ограничен) и при достаточно малом шаге можно перейти к простейшему дифференциальному уравнению с экспоненциальным решением.

Насколько все просто для экспоненциального роста, где каждая часть системы растет независимо от другой, настолько сложно, когда эти части взаимодействуют. Для человечества, растущего по закону квадратичного роста, шаг итераций также должен быть выбран меньше средней продолжительности жизни или даже времени достижения половой зрелости и способности давать потомство.

Кроме того, для человечества как системы, в соответствии с теорией С.П. Капицы, можно ввести особый интервал времени τ: так называемое характерное время исторических изменений. Это время примерно равно 50-ти годам.

Полвека — это тот исторически значимый период времени, цикл эволюции, за который система «все человечество в целом» продвигается на шаг вперед в своем поступательном, прогрессивном развитии. Этот интервал времени и есть характерное время системы или характерное время исторических изменений. Примерно 50-ти годам равна постоянная времени Капицы. Такова же длительность цикла растущей сети в нашей модели. Средняя длительность Кондратьевского цикла также в среднем равна 50-ти годам, и, наконец, в самом грубом приближении этим же сроком измеряется и продолжительность человеческой жизни, при ее усреднении по всему времени эволюции.

Пятьдесят лет — это то минимальное время, за которое характер роста численности населения мира может качественно измениться, причем при отсутствии каких-либо катастроф. Например, рост скорости роста может смениться ее убыванием. Примерно за τ = 50 лет до роковой пятницы 13-го, по Форстеру, точки сингулярности гиперболы демографического роста, закон роста сошел с гиперболы, и начался демографический переход, длительность которого равна примерно удвоенному характерному времени τ. Развитые страны, суммарная численность которых составляет один миллиард человек, прошли через демографический переход в среднем на 50 лет раньше развивающихся стран. И, наконец, именно за такое минимальное время τ = 50 лет максимальный абсолютный прирост численности населения Земли  может быть сравним с самой численностью. Так, в ХХ веке за период 1934–1978 гг., т.е. примерно за характерное время, население мира удвоилось.

Важно понимать, что постоянная времени Капицы τ, характерное время исторических изменений, — константа эмпирическая. На вопрос о том, почему для системы «растущее человечество», с которой в процессе эволюции и социального развития происходили многочисленные качественные изменения, характерное время τ оставалось неизменным, феноменология С.П. Капицы никакого ответа не дает. Объяснение, данное автором, согласно которому закон роста и, соответственно, константы роста на протяжении двух миллионов лет «в первом приближении не эволюционировали» [1], вряд ли можно считать удовлетворительным. Подробнее здесь.

Поскольку за это характерное время τ с человечеством, как с растущей системой, могут произойти кардинальные изменения, то шаг Δt должен быть не просто меньше, а гораздо меньше 50-ти лет. С другой стороны, этот шаг обязан быть больше, чем минимальное время, необходимое для системы «человечество в целом», чтобы она проявила свою системность, и стал возможен квадратичный рост скорости роста. (Если выбрать шаг меньше этого минимального времени придется переходить к уравнению с запаздывающим аргументом.) За это минимальное время, шаг модели, должны быть реализованы все стадии развития процесса, т.е. все события одного звена причинно-следственной цепи согласно (1А). Попробуем оценить минимально необходимое время проявления системности (разное в разные времена) для модели Коротаева.

Со второй половине ХХ века и до наших дней, согласно закону Мура, вычислительная мощность компьютеров, емкость жестких дисков и т.д. удваивается примерно каждые 18 месяцев. Это нижняя граница, минимум миниморум, для времени перехода новации в инновацию в рамках одной технологии, с учетом мгновенной скорости передачи информации и без учета времени, необходимого на прирост численности. Но взрывной рост достижений в сфере высоких технологий в наше время, когда за два года устаревает компьютер, сотовый телефон, цифровой фотоаппарат — явление уникальное, никогда ранее не наблюдавшееся, и его нельзя распространять на все новации и на все времена.

По мере удаления в прошлое это минимальное время растет по следующим причинам:

• Во-первых, растет время, необходимое для передачи информации, заключенной в изобретении на всю Мир-систему, которое при отсутствии современных средств связи, появившихся только в ХХ веке, составляет как минимум годы.
• Во-вторых, изобретения, представляющие собой чистую информацию, обычно необходимо «материализовать», т.е. поднять потолок несущей способности Земли. Ведь лишь в этом случае они смогут стать движущей силой роста численности. На это также требуется время в среднем, видимо, тоже годы.
• И, наконец, нужно еще подождать некоторое время пока эта материальная инновация даст результат в виде прироста численности, подождать не менее длительности пренатального периода. И это тоже может вылиться в несколько лет.

Возьмем минимальное время проявления системности равным, скажем, 10-ти годам. Здесь еще следует учесть, что для того, чтобы конечно-разностная схема роста (1А) могла быть успешно применена, шаг модели должен быть больше, а лучше гораздо больше, чем это минимальное время. Иначе звено причинно-следственной цепи, содержащее события, происходящие с системой в течение шага, будет иметь прямую причинно-следственную связь с предыдущим и последующим звеньями. Пусть шаг будет равен, скажем, 50-ти годам. Понятно, что этот выбор достаточно произволен.

Дело осложняется еще и тем, что прирост после каждой  такой итерации складывается с полной численностью, и после этого идет рекурсивное обращение к основному алгоритму. Но на изобретательскую деятельность грудные младенцы не способны, и общую численность приходится делить на две составляющие: потенциальных изобретателей и тех, кто изобретать не способен в принципе. Младенцам для того, чтобы стать «коротаевскими изобретателями» нужно время, чтобы подрасти, на это уходит, скажем, лет двадцать. Зато рожденные за 20 лет до того как раз вступают в изобретательский возраст и могут участвовать в новационном процессе.

Следовательно, уравнения роста должны быть уравнениями с запаздывающим аргументом, с разделенными общей численностью и приростом. Ясно, что без упрощений здесь не обойтись. Тем более, что цель данного анализа состоит вовсе не в том, чтобы составить и решить. Будем считать, что прирост за счет рождаемости и за счет уменьшения смертности можно описывать как единый прирост уравнением (1A); будем также считать, что прирост за шаг Δt составляют не грудные младенцы и выжившие за счет жизнесберегающих технологий старики, а полноценные «изобретатели». Т.е. возрастные, половые и другие различия учитывать не будем. И только после всех этих упрощений мог бы, наконец, заработать алгоритм роста в его конечно-разностной форме (1А.

Но этого-то как раз и не происходит по той причине, что минимальное время проявления системности примерно равно характерному времени исторических изменений. Шаг Δt конечно-разностного уравнения (1А), единый на всем протяжении эпохи гиперболического роста, не может быть и гораздо больше первого, и гораздо меньше второго.
Следовательно, ни конечно-разностное уравнение (1А), ни тем более дифференциальное (1) не могут выступать в качестве причинного закона роста  и описывать рост численности в реальной Мир-системе.

Это понятно еще и по следующим соображениям: квадратичное уравнение (1), определяющее гиперболический рост, в отличие от линейного уравнения (2), не имеет «встроенного» масштаба времени. Такие законы называются масштабно-инвариантными. Они остаются неизменными при изменении шага Δt. Но реальный рост численности населения Земли как системы характеризуется по крайней мере  двумя характерными временами: временем исторических изменений и минимальным временем проявления системности. И причинный закон (1) как закон самоподобного роста, как асимптотика более сложного закона с преддетерминацией может быть получен лишь в том случае, если в формулах этого более сложного, не масштабируемого закона первое время устремить к бесконечности, а второе к нулю.

Поскольку в действительности эти времена одного порядка, то закон (1) не является асимптотической формой какого-либо более сложного закона. И т.к. в зависимости (1) эти характерные времена отсутствуют, то закон квадратичного роста не может выступать в качестве причинного, динамического закона, определяющего гиперболический рост. Как такое может быть? Такое возможно лишь в том случае, если закон квадратичного роста не является причинным законом, а представляет собой функциональную, сопутствующую связь между численностью и скоростью ее роста. При этом скорость роста будет пропорциональна квадрату численности лишь в среднем, а рост ее может быть даже не монотонным. При том условии, конечно, что если (1) проинтегрировать, то должна получиться кривая роста, «мало отличающаяся» от гиперболы Форстера.

В таком случае закона роста численности с преддетерминацией, учитывающего все особенности глобального демографического процесса и полностью его объясняющего, видимо, не существует. Действительно, если бы такой закон существовал во всей своей сложности: с характерными временами, с учетом роста отдельных частей Ойкумены, миграции, разделения полов и спецификой прироста за счет рождаемости, с разделенным приростом, с запаздыванием инноваций и т.д. То все равно в асимптотике, с учетом всех возможных упрощений, на выходе получался бы асимптотический причинный закон, включающий характерные времена роста.

Закон (1) мог бы выступать в качестве асимптотического причинного закона, если бы асимптотическая причинная связь между численностью и скоростью не зависела бы совсем или зависела слабо от обоих характерных времен. Тогда устремление этих времен к бесконечности и к нулю, соответственно, не меняло бы форму асимптотики. В такую независимость поверить трудно, и вот почему: во-первых, скорость роста численности всегда зависела от инновационного процесса. Во всех существующих теориях роста это как-то отмечено. Во-вторых, существуют экономические циклы и, в частности, Кондратьевский цикл. И наиболее убедительное объяснение этому циклу, данное самим Кондратьевым, также связано с инновациями.

Причем длительность Кондратьевского цикла равна как раз характерному времени исторических изменений, а всего таких циклов за два тысячелетия исторического времени насчитывается около сорока. Если Кондратьевский цикл существовал в течение всего социального периода развития человека, то скорость роста была циклической функцией, т.е. зависела от характерного времени исторических изменений. С другой стороны, при не равном нулю времени проявления системности, уравнение (1) должно быть заменено на уравнение с запаздывающим аргументом, имеющим совсем другие решения. Так что представление о том, что асимптотический закон может не зависеть от характерных времен, вряд ли соответствует действительности.

Поскольку в реальности это не так, то модель второго типа, видимо, вообще не может быть построена. Миф о том, что такое возможно принадлежит С.П. Капице, а не А.В. Коротаеву, который этой проблемы вообще не затрагивает. Впрочем, как и всех других, сколько-нибудь важных проблем.

Все сказанное выше не претендует, конечно, на роль какого-то доказательства и даже на полную безошибочность; это всего лишь первое приближение, шаг в направлении, развивать которое нет никакого смысла по причине его бесперспективности. Тем не менее приведенные здесь аргументы могут иметь значение при решении вопроса о статусе (1) как причинного закона.