Миф о том, что закон квадратичного роста может
обеспечить устойчивый рост

Вопрос о причинах устойчивости гиперболического роста Коротаев вообще не рассматривает. А между тем устойчивость роста не менее парадоксальна, чем его глобальность. Человечество не раз проходило через «бутылочное горлышко эволюции», когда численность популяции драматически снижалась до предельно низкого уровня. Как показали исследования генетиков, в верхнем палеолите популяция находилась на грани вымирания. А во время неолитической революции, согласно ряду исследований, численность человечества сначала снизилась в десять раз, и лишь затем последовали фазы восстановления и взрывного роста.

Именно благодаря такой селекции расовые и этнические различия в геноме человека значительно меньше различий в геноме двух шимпанзе, взятых из разных популяций. И, возможно, благодаря такой селекции человеческая цивилизация вообще существует, по крайней мере, в том виде, в каком мы ее наблюдаем.

В средние века до тридцати процентов населения Европы вымерло от чумы, причем эпидемия длилась десятилетиями, а общие потери оцениваются в 25 млн. или около 10 % населения мира. Этот отход от гиперболы очень хорошо виден на кривой роста численности мира по Бирабену.

Рис. 9. Рост численности населения мира по Бирабену до 2000 г. Отход от гиперболы во время эпидемии чумы в Европе.

Общие потери в результате мировых войн ХХ века составили 150 млн. или 7 % населения мира. При этом основные потери — это не военные потери на полях сражений. Их величина составляет 50 млн., остальные же 100 млн. — это потери среди мирного населения, включая тех кто скончался от голода и болезней и тех, кто мог бы родиться, но не родился.

Парадокс заключается в том, что после каждого такого катастрофического спада численности возврат происходил всегда на ту же самую гиперболу. Т.е. закон, управляющий ростом, обладает памятью. Но закон роста для простых моделей первого типа, построенных на законе квадратичного роста как на причинном законе, т.е. для моделей А.В. Коротаева и С.П. Капицы, не обладает не только памятью, но и устойчивостью.

Предположим, что закон роста (1) справедлив в точности, а не в тенденции, как считает Коротаев. Тогда после каждого спада численности в результате какой-то катастрофы или после каждого ее всплеска после внедрения какого-то полезного изобретения рост продолжается уже по новой гиперболе.

Сразу же отметим, что под устойчивостью будем иметь в виду устойчивость по Ляпунову, но не просто устойчивость (шарик на столе), а асимптотическую или экспоненциальную устойчивость (шарик в лунке).

Дифференциальное уравнение (1) есть, по сути, рекуррентное соотношение, определяемое следующим образом: прирост численности равен некоторой константе, умноженный на квадрат численности. Если задано начальное значение — процесс полностью определен. При разных начальных условиях получаются разные гиперболы. На языке аппарата дифференциальных уравнений — это задача Коши, и ее решение зависит от начального условия. С момента катастрофического спада численности рост идет по совершенно другой гиперболе, поскольку никакого механизма устойчивости эта простейшая рекурсия, очевидно, не имеет.

Следовательно, если бы рост происходил по Коротаеву, кривая роста состояла бы из отрезков, идентичных с точностью до положения точки сингулярности каждой из гипербол роста, т.е. кусков гипербол от катастрофы — до катастрофы (или от скачка — до скачка). Например, если бы в конце неолита численность людей, населяющих Ойкумену, уменьшилось в результате какой-то катастрофы всего на 10 %, то сингулярность эмпирической гиперболы демографического роста, сингулярность Дьяконова—Капицы, отодвинулась бы в будущее на 1000 лет. Если бы после эпидемии чумы в Европе эта численность росла по Коротаеву, то сингулярность Дьяконова—Капицы оказалась бы в XXII веке. О том, что кривая роста не состоит из отрезков различных гипербол, у каждой из которых своя точка сингулярности, а представляет собой единую гиперболу — гиперболу Форстера, говорит закон (а не тренд по Коротаеву!), открытый Форстером, который выполняется с прекрасной точностью. Точность, с которой была определена точка сингулярности, составляет всего пять лет.

Кроме того, о неспособности моделей первого типа адекватно описывать рост и необходимости построения моделей второго или третьего типа говорит эффективность алгоритма восьми шагов и точность границ исторических периодов. Следовательно, гипербола роста была, по сути, предзадана. И уравнение роста (1), не имеющее устойчивых решений, не в состоянии этого объяснить. См. гл. «Сингулярность Дьяконова—Капицы».

Но даже и при отсутствии скачков в динамике роста численности населения мира, если следовать изобретательской теории Коротаева, кривая роста не может быть гиперболой Форстера, т.к. при отсутствии устойчивости даже небольшие колебания численности могут в сумме составить значительное отклонение на интервале в несколько сотен лет.

Об устойчивости роста человечества как системы пишет С.П. Капица. [1]:

«Устойчивость системы можно исследовать методами системной динамики. Определяющим здесь является показатель роста возмущений, так называемый показатель Ляпунова. Оказывается, что на всем протяжении эпохи B — эпохи квадратичного роста — эта траектория неустойчива».

Таблица 1. Уменьшение населения при мировых войнах.

«В Таблице 1 показано поведение мировой демографической системы от 1900 до 1990г., когда она вернулась на прежнюю траекторию роста, практически за 20 лет компенсировав потери на 100% за 40 лет войн. Подчеркнем, что за это время население Земли удвоилось . В этом соотношении самого крупного по своим абсолютным масштабом катаклизма видно, насколько постоянен и неотвратим процесс глобального роста человечества, когда потери в отдельных странах не отражают мирового процесса развития».

«...Такой упрощенный подход в рамках линейной теории устойчивости не может считаться удовлетворительным, поскольку вся история человечества убедительно демонстрирует устойчивость этого процесса в целом. Это происходит потому, что нами формально проанализировано укороченное уравнение роста, в котором не учтены внутренние переменные. Как показано в синергетике Хакеном, именно эти переменные могут коренным образом изменить устойчивость роста, не меняя сам закон роста».

«Обсуждая вопрос о глобально устойчивости, следует обратить внимание на то, что для системного поведения человечества потеря устойчивости имеет характер быстрого разрушения внутрисистемных механизмов развития, будь то результат чумы или мировых войн ХХ в. Заметим, что длительность таких глобальных возмущений порядка τ= 45 лет, и они всегда имеют отрицательный знак. Как и в случае мировых войн, человечество очень быстро численно восполняло потери и, что примечательно, возвращалось на прежнюю траекторию роста, демонстрируя ее устойчивость в целом.

Таким образом общая устойчивость траектории развития человечества, охватывающей рост населения на пять порядков в течении Эпохи В, представляется весьма характерным системным свойством, поэтому важно понять в рамках предлагаемой теории ее причины. Расселение, миграция населения по земному шару несомненно способствовали стабилизации роста, при котором введенный нами гиперболический закон принимает характер предельной траектории системного развития.

Здесь уместно представление об образе трубы в фазовом пространстве. Общее развитие человечества следует по этому главному направлению, а уход его с траектории устойчивого роста в какую-либо сторону в среднем приводит к потерям оптимального развития. В таком случае линейная теория устойчивости не дает возможности определить устойчивость движения, поскольку у нас нет способа описания внутренних быстрых переменных, обобщенных координат, которые служат для представления процессов, стабилизирующих систему в целом».  

Из приведенных выдержек можно уяснить ряд важных моментов. Во-первых, С.П. Капица понимает важность проблемы устойчивости. Во-вторых, отмечает очевидную и несомненную неустойчивость роста, определяемого законом (1). При том, что фактически рост человечества как системы демонстрирует устойчивость аномальную, возвращающую рост на ту же самую, по сути, предзаданную гиперболу, объяснение чему не сможет дать не только линейная теория устойчивости, но и существующая лишь в мечтах теория роста 2-го типа.

В-третьих, из приведенных выдержек следует с полной определенностью, что никакого доказательного объяснения этой аномальной устойчивости у него нет. В более сложной, синергетической модели, модели второго типа по нашей классификации, внутренние переменные, по мнению С.П. Капицы, смогут коренным образом изменить устойчивость роста, не меняя сам закон роста. С тех пор как С.П. Капица построил свою модель, прошло более двадцати лет, но синергетическая модель, адекватная модель второго типа по нашей классификации, асимптотикой которой должна была стать модель Капицы, так до сих пор и не создана.

Есть только откровенная подгонка под результаты феноменологической теории С.П. Капицы, авторы: В.А. Князева, Е.Н. Белавин, Е.С. Куркина. Которая никак не может считаться адекватной моделью второго типа, и которая свидетельствует о полной неспособности синергетики объяснить феномен гиперболического роста. А также и полной несостоятельности физикалистской теории С.П. Капицы (только в объяснительной ее части), которая имеет право на существование, по словам ее автора, только в форме асимптотики модели второго типа.

Вероятно, модель второго типа так никогда и не будет построена, поскольку очевидны предвзятость, изначальная синергетическая направленность такого подхода к решению проблемы. В своей книге «Парадоксы роста. Законы развития человечества», вышедшей в июне 2010 года, т.е. спустя 15 лет после выхода его первой статьи на эту тему, С.П. Капица вновь говорит о не существующей синергетической модели, как о чем-то реальном. И это не удивительно: она нужна его феноменологии, как воздух, ведь рост численности, определяемый причинным законом коллективного взаимодействия, на котором построена теория Капицы, никакой устойчивостью не обладает.

Объяснения устойчивости демографического роста дает А.В. Подлазов:

«В связи с центральным положением, которое занимает уравнение (7) в теоретический демографии, весьма важным является вопрос о его устойчивости. Любое нарушение предписанного им баланса между уровнем жизнесберегащих технологий и населением (скажем, из-за локальной флуктуации) эквивалентно смене начальных условий системы (4) — (5). При этом на смену уравнению (7) приходит ее интеграл (6). Легко видеть, что относительная величина отклонения будет со временем убывать из-за монотонного роста p и N. Таким образом, основное уравнение (7) устойчиво в медленном времени, т.е. на тех временах, на которых должно проводиться усреднение демографических характеристик.

 Однако, оказывается, что уравнение (7) устойчиво и в быстром времени. Связано это с динамикой быстрых переменных, неучтенных при выводе системы (4) — (5). Процессы, посредством которых происходит восстановление баланса между численностью человечества и размером его технологической ниши, оказываются различными в зависимости от знака отклонения, что затрудняет их унифицированное описание.

 Если из-за войн, эпидемий, стихийных бедствий и т. п. катаклизмов население уменьшается, то включаются популяционные (рост рождаемости, мобилизация внутренних ресурсов организмов уцелевших особей) и социальные (усиление взаимопомощи и снятие ограничивающих рождаемость барьеров) защитные механизмы. В результате status quo восстанавливается в течение всего лишь нескольких поколений». [5]

Закон квадратичного роста (уравнение (4) у Подлазова) никакой устойчивостью ни в каком времени не обладает. Никакой модели с «неучтенными» быстрыми переменными не существует и никогда не существовало. Мировая демографическая система скомпенсировала потери от двух мировых войн за 20 лет, а не «всего лишь за несколько поколений». Если быстрое время — это «всего лишь несколько поколений», то медленное время, «на котором должно проводиться усреднение демографических характеристик», видимо, несколько десятков поколений, что соизмеримо с продолжительностью всего исторического периода. В итоге — абсурд. Так что объяснение устойчивости, данное Подлазовым, никакого доверия не заслуживает. Вопрос настолько прост, что ошибиться здесь кажется невозможным. В таком случае, для всего этого, есть другое название – очковтирательство.

Вот еще одно «объяснение» парадоксальности и устойчивости гиперболического роста на основе синергетики:

«Удивительно, что одна и та же закономерность роста имеет силу для всей истории человечества, т.е. действует уникально длительное время. Развитие на огромном промежутке времени описывает одна и та же формула. Чудовищные войны, эпидемии, приводящие к вымиранию населения огромных регионов, ложились на кривую роста лишь как малые отклонения от общей тенденции, которая быстро восстанавливала себя. Чрезвычайная устойчивость гиперболического закона роста населения выглядит как своеобразное чудо.
 

Квадратичная нелинейность роста неустойчива лишь относительно момента обострения. К примеру, известно, что в 1343 году 30% населения вымерло от чумы. На квазистационарной стадии подобное возмущение несущественно. Подобного рода возмущение приводит к незначительному изменению момента обострения, допустим он наступит не в 2025, а в 2027 году. Сам режим роста быстро восстанавливается. Кривая роста устойчива по отношению к конечным флуктуациям.
 

Факт восстановления общего закона мы можем сегодня объяснить стягиванием поля интегральных кривых, полученных методом осреднения для описания автомодельной стадии процесса. Конечные флуктуации приводят к выходу на тот же самый закон. Можно исследовать вопрос, существует ли какая-то пороговая величина флуктуации, которая приводит к срыву внутри модели, к нарушению общего закона роста.
 

Внутренняя устойчивость гиперболического роста населения, судя по всему, глубоко связана с характеристиками мира как глобальной системы. Развиваемый ныне в демографии системно-исторический подход состоит в рассмотрении мира как единой системы, системы нелинейной и самоорганизующейся с положительными (рост) и отрицательными (стабилизация) обратными связями. Наблюдается синхронизм поведения этой глобальной системы в древности и в наше время: флуктуации численности на протяжении истории быстро сглаживаются, собственная тенденция роста быстро восстанавливается. По-видимому, существуют некоторые параметры порядка, свертывающие внутреннюю сложность и представляющие общий характер поведения этой системы, такие как время жизни одного поколения (порядка 40 лет) или общее, интегральное число людей, когда либо живших на Земле на протяжении всей истории человечества. Фундаментальный смысл имеет финальность, асимптотика этого процесса, на которую, вероятно, не влияют начальные условия (начальные условия "забываются" с выходом на аттрактор)».

«Исторический процесс роста населения мира, его внутренняя устойчивость, сокращение периодов колебаний (численности и пространственного распределения населения) на фоне общей тенденции роста и даже примерное количество периодов, предположительно, объясняются рассматриваемой синергетической моделью. Наибольший интерес представляет начальная и конечная стадии автомодельного режима гиперболического роста». В.А.Белавин, Е.Н.Князева, С.П.Курдюмов

Все это было написано более десяти лет тому назад, но синергетическая модель (адекватная модель второго типа по нашей классификации) — так до сих пор и не построена. По нашему мнению, формально математический подход не может решить проблему, поскольку причина выделенности, «предзаданности» гиперболы Форстера, эмпирической гиперболы демографического роста, на которую был направлен рост численности населения мира во все времена, должна быть понятна и без всякой математики.

Единственная модель, объясняющая феномен устойчивости роста, — это наша сетевая модель гиперболического роста, модель третьего типа по нашей классификации. Устойчивость здесь обеспечивается малыми возмущениями, коррекциями (всего их примерно два десятка), не позволяющими закону роста скатиться с гиперболы Форстера. Эти коррекции ни в коем случае не являются подгонкой алгоритма роста сети к закону гиперболического роста населения Земли.

 На самом деле алгоритм роста в точности описывает увеличение размера сети по закону теоретической гиперболы. Однако процесс этот неустойчивый, и малейшее возмущение быстро уводит его от теоретической гиперболы (тут еще нужно учесть, что здесь мы имеем дело с целочисленными величинами). Что совершенно не удивительно, т.к. и закон квадратичного роста, уравнение Капицы, устойчивых решений не имеет, т.е. обладает точно таким же свойством.

 Кроме того, эти коррекции представляют собой очень малые возмущения, всего в один клаттер, тогда как сеть на втором этапе своего роста от неолита до конца XX века, который только здесь и рассматривается, растет от 256 клаттеров до 65536, т.е. ее размер составляет сотни, тысячи и даже десятки тысяч клаттеров. В таком случае возмущение в один клаттер составляет всего лишь доли процента от общего числа клаттеров в сети и является даже не каким-то «толчком», а всего лишь «легким прикосновением».

 И, наконец, нужно учесть то, что уравнение Капицы легко выводится из алгоритма роста иерархической сети. Поэтому нет ни малейшего сомнения в правильности этого алгоритма. Направленность роста сети на стадию своего гармонического достижения в конце каждого исторического этапа, когда ее размер удваивается по сравнение с его значением в конце предыдущего этапа, полностью соответствует представлению о сокращающихся циклах исторического развития, которые рассматривали И.М. Дьяконов и С.П. Капица .

 При этом приоритет по глобальным историческим циклам Мир-системы,  сжимающимся к точке сингулярности эмпирической гиперболы демографического роста, имеет, видимо, более высокое значение по сравнению с приоритетом по экономическому (Кондратьевскому) циклу — главному циклу эволюции. Т.е. гармонические стадии роста сети должны быть пройдены в обязательно порядке. Поэтому кривая роста стремится пересечь как точки, предопределенные программой эквифинальности по Кондратьевским циклам, так и, вероятно, с более высоким приоритетом, все девять точек гармонического достижения от момента начала неолита до момента начала демографического перехода. В этом и состоит истинная причина устойчивости гиперболического роста в нашей модели, и она понятна без всякой математики.

Устойчивость роста — вот ахиллесова пята всех теорий первого типа, опирающихся на (1) как на причинный закон. Может ли тогда (1) считаться причиной гиперболического роста? И могут ли такие теории претендовать на истинность? Окончательные выводы пока отложим. Но возвратимся к теории Коротаева.

Все сказанное выше по поводу устойчивости справедливо для того случая, когда скорость роста численности в точности пропорциональна квадрату численности. Если же это условие выполняется лишь в тенденции, по мере роста Мир-системы, как полагает Коротаев, то надежда на то, что в результате такого случайного, неустойчивого процесса «нарисуется» (причем с фантастической точностью в один процент!) гипербола Форстера, простейшая из гиперболических кривых, — пропадает окончательно и безвозвратно.

На стр. 33 книги «Гиперболический рост в живой природе и обществе» (А.В. Марков, А.В. Коротаев, Москва, URSS, 2009 г) Коротаев пишет:

«Теперь для того, чтобы объяснить гиперболическую тенденцию роста численности населения мира, мы должны просто объяснить, почему на протяжении многих тысячелетий абсолютные темпы мирового демографического роста были в тенденции пропорциональны квадрату численности населения мира».

Убедить востоковеда Коротаева в том, что действовавший на протяжении многих тысячелетий причинный закон (1) (ПОС второго порядка), справедливый лишь в тенденции, не обладающий ни памятью, ни устойчивостью не способен обеспечить рост населения мира по гиперболе Форстера (что понятно и так, без всяких доказательств, любому мало-мальски мыслящему человеку с минимальным математическим образованием) — не представляется возможным. Спустя годы, он продолжает распространять в печати и в Интернете свою топорную, ничем не подтвержденную демографическую теорию.