Миф о том, что закон квадратичного роста
вызывает гиперболический рост численности

С.П. Капица о законе квадратичного роста: 

«Поразительно, что этот закон квадратичного роста был неизменен на протяжении миллионов лет. Миллион лет человечество росло и размножалось согласно этому закону, что само по себе поразительный факт… Таким образом, я как физик понял, что мы имеем дело с квадратичным, коллективным взаимодействием. Во-первых, эта формула не применима к отдельно взятой стране, потому что сумма квадратов не равна квадрату суммы. Второе: это указывает, что в корне всего явления лежит коллективное взаимодействие так же, как и в возгорании города, о котором мы говорим, и это качественно новое явление по сравнению с тем, о чем думали раньше. Более того, такие формулы пишутся более или менее автоматом не в первый и не в последний раз. Главное — это их интерпретация со всеми историческими, демографическими и прочими данными».  (выделено мною – А.М.)

«Миллион лет человечество росло и размножалось согласно этому закону, что само по себе поразительный факт…» — На самом деле — это не факт, как считает С.П. Капица, а всего лишь ошибочная интерпретация закона квадратичного роста. Главное — это интерпретация, и первый вопрос, на который нужно дать ответ, это вопрос о том является ли закон квадратичного роста причинным законом, или это всего лишь функциональная, сопутствующая связь? Если мы имеем дело с сопутствующей связью между численностью и скоростью ее роста, то придется поставить крест на всех теориях роста первого типа, в том числе и на теории коллективного взаимодействия Капицы, сводящей феномен гиперболического роста к причинному закону (1). Составим список всех ранее рассмотренных аргументов, говорящих о том, что закон квадратичного роста, причинным законом считаться не может.

Рис.16. Закон квадратичного роста (1): Скорость роста численности пропорциональна квадрату численности. Конечно-разностное уравнение (1А) при  Δt→0, переходит в дифференциальное (1). ΔN — естественный прирост (прирост численности населения мира за один год). N(t) — Закон гиперболического роста населения Земли, гипербола Форстера.

• Можно ли вообще формулировать законы эволюции и развития. к которым относится и закон роста численности населения Земли, как причинные законы на основе аппарата дифференциальных уравнений, предназначенного для описания процессов с простой преддетерминацией? Моделировать биологические, социальные, экономические, демографические и т.п. явления  можно и нужно. Но подходит ли язык бесконечно-малых, предполагающий информационную простоту и «бесконечно-малую» длительность звена причинно-следственной цепи, для описания процессов эволюции и развития, процессов максимальной сложности, зависящих от всего своего прошлого или даже нацеленных на какое-то событие в будущем? Не существует ни одного примера, когда системы высшей сложности, системы с которыми в процессе эволюции происходили (и неоднократно) кардинальные качественные изменения, каковыми являются, например, биосфера и растущий социум, описывались бы в течение всего этого процесса эволюции простейшими причинными законами.
  
  
• Никакими «экспериментальными данными» о том, как в действительности менялась скорость роста численности населения мира в течение тысячелетий, мы не располагаем, и не будем располагать никогда; есть только данные по численности, и точность их оставляет желать лучшего. И эти данные, которые определяют гиперболу Форстера, говорят нам о том, что средняя скорость роста росла по закону (1). Действительное же ее значение для каждого момента времени в прошлом остается неизвестным. Т.е. при гиперболическом росте численности зависимость скорости роста от времени могла и не соответствовать закону (1), она могла быть даже немонотонной функцией, и ее рост мог сменяться спадом десятки раз, в течение всего социального периода развития человека. Итак, во-первых, нет никаких оснований считать (1) следствием каких-либо прямых наблюдений и, во-вторых, нельзя его также считать (в качестве причинного закона) необходимым и достаточным условием гиперболического роста .
  
  
• Если считать (1) причинным законом, отражающим связь между численностью и скоростью ее роста, и на его основе объяснять феномен гиперболического роста, то придется признать, что уравнение роста (1А)  выглядит мистически. Разные по своей природе составляющие мирового естественного прироста: за счет рождаемости (Р) и за счет уменьшения смертности (-С), требующие, казалось бы, различных способов описания и зависящие от множества условий, объединены в простейшем уравнении (1А) в один общий естественный прирост (Р-C). Т.е. существует мистическая, ничем не объяснимая согласованность в динамике рождений и смертей на территории Ойкумены, которая будучи воплощена в (1) и приводит к гиперболическому росту. Для модели Мальтуса, с постоянными коэффициентами рождаемости и смертности, такая согласованность тривиальна. Для человечества как системы, состоящей из множества слабо связанных подсистем, причины прироста численности в каждой из которых множественны и изменчивы, такая согласованность для суммарного прироста (Р-С) — парадокс. Есть всего лишь один способ демистифицировать закон (1): отказать ему в статусе причинного закона.
   
• С формальной точки зрения закон (1) — это нелинейное дифференциальное уравнение, и нелинейность эта приводит к парадоксальной системности множества всех живущих. Для ее объяснения исследователи гиперболического роста были вынуждены ввести понятие единого информационного поля. Однако на всем протяжении исторического развития человечество всегда было разделено (прежде всего, территориально) на страны, народы, этносы с различной историей, языком, культурой, традициями, религией. Некоторые народы были полностью изолированы от основной Мир-системы, у других связь с ней была слабой. Каждая такая «подсистема» системы «все человечество в целом» росла и размножалась по своим законам, отличным от других. Поверить в глобальную системность такого разобщенного человечества, в единое для всех них информационное поле, существовавшее во все времена и по всей Ойкумене, почти невозможно. Но если все-таки поверить и идти дальше, то необходимо давать какое-то объяснение закону (1) как причинному закону, что, в принципе, не представляет особого труда по причине его исключительной простоты. И такие объяснительные теории существуют: различные, взаимоисключающие и не верифицируемые в принципе. Проверке не поддаются, прогнозов не дают. Какой в них прок? Прок только в  вере: проникнуться пониманием и поверить в изобретателей, в потолок несущей способности Земли, в жизнесберегающие технологии и информационную природу роста, в коллективное взаимодействие и демографический императив. Но можно ли поверить в какую-то одну из нескольких взаимоисключающих, умозрительных, ничем не подтвержденных гипотез, отвергая все остальные? Если руководствоваться эмоциями, то — да, если фактами и логикой — нет. Итак, приходится признать, что для того, чтобы замечательный по своей простоте закон (1) заработал как причинно-следственная связь, и образовалась гипербола Форстера — нужно всего лишь дважды поверить в невозможное.
  
  
• Рост численности населения Земли, по крайней мере два последних столетия, сопровождался циклической экономической активностью ведущих стран мира и завершается ныне глобальным демографическим переходом. Т.е. все три явления: экономические циклы, рост и переход, несомненно связаны, возможно даже, что они представляют собой разные стадии одного и того же процесса. Тогда почему экономические циклы и демографический переход явления многопричинные, а рост численности объясняется только одной причиной?  Поверить в единственный и неизменный во все времена закон роста не просто. Но даже если предположить, что рост определялся единственным динамическим причинным законом (1), то можно ли поверить в неизменный на протяжении тысячелетий коэффициент прироста? Его постоянство — равносильно предзаданности гиперболы Форстера!
  
  
• Если рассматривать законы популяционной динамики, законы химической кинетики, законы по которым идут цепные ядерные реакции, какие-либо другие законы роста численности «коллектива» однородных, размножающихся частиц, в пределах некоторого конечного (не «бесконечно малого») пространства закон квадратичного роста (1) как глобальный причинный закон — не встречается среди них никогда. И это не удивительно; если считать (1) причинным законом роста популяции, то необходимо признать, что в отличие от закона экспоненциального роста, широко распространенного в природе и являющегося причинно-самодостаточным законом естественного роста, закон (1) свойством такой самодостаточности, в силу своей нелинейности, не обладает. Т.е. для понимания явления гиперболического роста закона (1) как такового уже не достаточно, нужны вспомогательные допущения. И введение таких допущений, призванных объяснить парадоксальную системность растущей популяции, с неизбежностью приводит к логическим противоречиям. Именно поэтому экспоненциальный и гиперболический рост разделяет непреодолимая пропасть. И именно поэтому закон (1), как причинный закон роста численности популяции, НИКОГДА НЕ ВСТРЕЧАЕТСЯ В ПРИРОДЕ. Но даже если бы вдруг, каким-то чудесным образом, он и проявился для Мир-системы растущего человечества, рост ее численности все равно не был бы гиперболическим по причине его неустойчивости.
  
  
• Удивительна точность, полученная Форстером для своих констант, определяющих закон гиперболического роста. Это говорит о том, что показатель степенной функции в законе гиперболического роста населения Земли должен быть в точности равен минус единице, и гипербола Форстера была, по сути, предзадана. (Попытки А.В. Коротаева и С.В. Цирель поставить эту точность под сомнение — не что иное, как обман.) Можно ли поверить в таком случае в то, что гипербола Форстера образовалась в результате непрерывного действия простого причинного динамического закона (1), закона, не обладающего ни памятью, ни устойчивостью? Окончание эпохи гиперболического роста является совершенно особенным моментом эволюции и развития. Именно с ним связан целый ряд событий и совпадений, не имеющих никакого рационального объяснения. Почему в растущей мировой демографической системе отход от гиперболы роста происходит одномоментно (скачкообразно), а не поэтапно (непрерывно) в течение сотен лет, как это было бы, если бы рост вызывался причинным законом (1), который во всех существующих интерпретациях предполагает «плавное» вхождение в демографический переход. Почему момент начала перехода совпадает с временем первого удвоения численности за характерное время τ, и почему эта дата отстоит от точки сингулярности гиперболы роста, сингулярности Дьяконова—Капицы, также на характерное время τ? Почему именно в этот момент времени численность населения Земли достигает значения К²?  Почему время, за которое с законом (1) произойдут кардинальные перемены (скорость роста численности устремится к нулю), равно 2τ, и оно ничтожно мало по сравнению с продолжительностью эпохи роста, измеряемой сотнями или даже многими тысячами τ?  И, наконец, почему два процесса, напрямую никак не связанные: гиперболический рост численности населения Земли, и сжимающиеся по закону прогрессии циклы исторического развития, продолжавшиеся в течение многих тысяч лет, завершаются  одновременно во второй половине ХХ века? Процесс роста можно разделить на три эпохи: гиперболическую, эпоху перехода и эпоху за переходом с фиксированной численностью и неопределенной длительностью. Поскольку даты начала и конца перехода представляются далеко не случайными, то очевидно, что мы имеем дело с множеством чудес и трудно объяснимых совпадений. Развеять мистику может такая гармоничная теория роста и развития, в которой причина роста будет одна для всех эпох. Закон (1) как причинный  закон выступать в  качестве такой единой причины, очевидно, не может, т.к. максимум на что он может претендовать, так это на объяснение роста в течение эпохи гиперболического роста. (К моменту начала перехода его действие заканчивается) Следовательно, и представляет он собой всего лишь сопутствующую, функциональную связь между скоростью роста (усредненной за характерное время) и численностью.
  
  
• Если считать, что закон квадратичного роста — закон причинный,  то получить его можно только в предельном переходе из конечно-разностного уравнения (1А), которое при достаточно малом, но конечном шаге Δt, и есть «истинная модель роста» в отличие от (1), с его абстрактными бесконечно малыми приращениями. Уравнение (1А) можно рассматривать как «генератор» причинно-следственной цепи: Численность в момент времени t: N(t) → Естественный прирост за Δt: ΔN = αN2Δt → новая численность N(t + Δt) = N + ΔN →… Для того, чтобы эта цепочка заработала нужно подобрать достаточно малый шаг, чтобы за малое время Δt изменения в системе также были малы. Т.е. шаг должен быть гораздо меньше характерного времени исторических изменений. В то же время он должен быть достаточно велик, чтобы в него полностью уложилось по крайней мере одно звено причинно-следственной цепи, т.е. он должен быть больше минимально необходимого времени проявления системности. Поскольку в реальной Мир-системе эти характеристические времена на всем протяжении исторического развития представляли собой величины одного порядка, то ни конечно-разностное уравнение (1А), ни тем более дифференциальное (1) не могут служить в качестве математической модели роста. Уравнение (1А) вообще не может рассматриваться как причинный закон, т.к. не существует удовлетворяющего необходимым требованиям шага Δt; то же справедливо и для (1), т.к. получить его как причинный закон можно лишь в предельном переходе из (1А).
  
  
• Если бы существовал закон второго типа, учитывающий все особенности роста и полностью его объясняющий, то существовали бы и упрощенные его варианты, причем предельно простым был бы асимптотический причинный закон первого типа, включающий характерные времена роста. Закон квадратичного роста — закон степенной, масштабируемый и этому условию не удовлетворяет. Он как причинный закон не может выступать как приближение, упрощение какого-то более сложного закона, но тем не менее правильно описывает связь между скоростью роста и численностью. Следовательно, более сложного и «все учитывающего» закона с преддетерминацией не существует, а связь между скоростью и численностью — связь функциональная, сопутствующая.
  
  
• Важнейшие показатели глобального развития: мировое энергопотребление, мировой ВВП, общее число изобретений и открытий, так же как и мировой естественный прирост, в эпоху гиперболического роста, подчинялись закону квадратичного роста: ΔЕ/Δt = cЕ2, ΔG/Δt = cG2, ΔТ/Δt = cТ2, ΔN/Δt = cN2. Следовательно, во-первых, все эти простейшие нелинейные дифференциальные уравнения имеют одинаковые гиперболические решения, причем даже точки сингулярности у них совпадают (с погрешностью, меньшей характерного времени). Во-вторых, рост всех этих показателей глобального развития не зависел ни от каких ресурсов. В-третьих, поскольку природа связи между дифференциальными и интегральными показателями глобального развития такой сложной системы, какой является система «все человечество в целом», остается невыясненной, то представляется разумным считать эту связь функциональной. Связи между различными показателями глобального развития как дифференциальными, так и интегральными также не могут считаться причинно-следственными. Возьмем, например, связь между растущей численностью населения Земли и ежегодным мировым энергопотреблением N<—>ΔЕ. Очевидно, что ее нельзя считать простой причинно-следственной связью. «Все человечество в целом» слишком сложная система, и такой подход представляется ущербным. Действительно, рост этих величин: энергопотребления и численности определяется множеством, вообще говоря, независимых причин, что само по себе свидетельствует о том, что связь эта функциональная. Кроме того, частью этого множества является подмножество, отвечающее за неопосредованную, точнее, «почти» неопосредованную, «короткую» связь N<—>ΔЕ, и при анализе причин из этого подмножества бывает непонятно, что является причиной, а что следствием. Более того, временами то и другое меняются местами, т.е. бывает непонятно даже, то ли рост численности вызывает рост энергопотребления, то ли растущее энергопотребление влияет на рост численности. Аналогичные выводы могут быть сделаны и для связи между численностью населения Земли и мировым естественным приростом ΔN<—>N, которая не может считаться положительной обратной связью, поскольку не существует аналогов неизменного в течение тысячелетий простого причинного закона роста для такой сложной системы, какой является растущий социум. Следовательно, закон (1) определяет функциональную, сопутствующую связь, одну из целого ряда подобных связей между дифференциальными и интегральными показателями глобального развития. А истинная причина роста и развития — так и остается неизвестной.

Всего мы имеем десять различных по силе и обоснованности аргументов, говорящих о том, что закон квадратичного роста никогда не был причиной гиперболического роста численности населения Земли. Ни один из них, взятый по отдельности, не обладает достаточной убедительностью и оставляет почву для сомнений. Но собранные вместе они ставят нас перед выбором: либо как-то объяснять все эти чудеса и нестыковки, что, видимо, невозможно (слишком уж их много), либо признать, что закон квадратичного роста — всего лишь сопутствующая связь.

Такое понижение статуса (1) ведет к разрушительным последствиям. Все существующие теории первого типа, сводящие гиперболический рост к причинному  закону (1), должны подать в отставку. Это в полной мере относится и к модели С.П. Капицы, объясняющей этот рост на основе уравнения Капицы и коллективного взаимодействия, и к изобретательской теории А.В. Коротаева, основанной на модели М. Кремера, которая в интерпретации Коротаева и соавторов и есть причинный закон (1). [20] стр.35.

Любая попытка построить теорию гиперболического роста численности населения мира на законе квадратичного роста, как на причинном законе, равносильна попытке построить вечный двигатель.

Это мифотворчество не закончится до тех пор, пока не будет, наконец, понята истинная природа гиперболического роста. Один из последних таких мифов — это миф об информационном императиве: эклектичная, физикалистская, полностью выдуманная, рассматривающая (1) как причинный закон, насыщенная бессмысленной математикой, не имеющей к мировому демографическому росту никакого отношения, теория заведующего лабораторией моделирования водно-экологических процессов института водных проблем Б.М. Долгоносова.

Прежде чем приступать к этому безнадежному занятию нужно попытаться опровергнуть десять представленных здесь «доказательств». По нашему же мнению, достаточно всего только трех: закон (1) как причинный закон не имеет права на существование уже только потому, что невозможно поверить в его единственность, неизменность и устойчивость на протяжении тысячелетий на территории реальной Ойкумены, никогда не являвшейся  единым информационным полем. Итак, будем считать доказанным, что закон квадратичного роста причинным  законом не является. Иначе говоря, связь между численностью населения мира и ежегодным мировым естественным приростом ΔN = αN², в эпоху гиперболического роста, была функциональной, сопутствующей.

Кроме того, связь эта была статистической, вероятностной. Это значит, что в любой момент исторического времени, до второй половины ХХ века, ежегодный прирост численности населения мира можно было найти, умножив величину α = C^-1 = 0.56*10^-11, обратную постоянной Форстера, на квадрат этой численности в начале текущего года. Даже если бы эта численность была бы известна с абсолютной точностью, действительный ежегодный прирост и прирост, подсчитанный по формуле ΔN = αN², скорее всего, немного бы отличались. Дело в том, что фактический мировой ежегодный прирост ΔNфакт(t) представляет собой нестационарный случайный процесс с математическим ожиданием, зависящим от времени ΔN(t) = αN². В нашей модели не только математическое ожидание удельного прироста (прироста на одного человека) ΔN(t)/N, но и его дисперсия зависят от фазы текущего Кондратьевского цикла. Пример такого процесса см. здесь.